Fórmulas de Euler
Fórmulas de Euler
Se no ponto inicial for calculado o valor do declive da tangente à curva y(x), tem-se:
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A partir daqui pode-se calcular uma aproximação à função y(x), no próximo ponto do intervalo, x1, que vai ter a designação de y1, utilizando a equação diferença
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sendo o h=x1-x0, o espaçamento entre os pontos do intervalo. Esta expressão é então a equação do método de Euler [5], para o primeiro passo.
Para efectuar o cálculo para qualquer ponto xi do intervalo, existe a fórmula geral da equação de Euler que é
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sendo uma equação de passo único e uma equação diferença de primeira ordem, além disso é também uma formula explícita, pois pode-se calcular a solução yi+1, recursivamente usando a equação (9).
Esta aproximação yi+1 de y(x), no ponto x = xi+1 possui um erro de truncatura local de h2, O(h2), e o método é de primeira ordem.
Assim a expressão do erro de truncatura é:
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O tamanho do erro calculado está ligado à precisão da aproximação calculada, yi+1. Nos algoritmos mais avançados para a resolução de equações diferenciais com condições iniciais, utiliza-se uma estimativa do erro de truncatura para ajustar o espaço entre os pontos xi do intervalo [a, b].
Convergência no método de Euler:
- Se a função y(x) possui uma curvatura muito acentuada, a aproximação yi+1, i=0, 1, …, n-1, obtida através da equação de Euler, depressa diverge da solução exacta.
- Se existir um espaçamento muito grande entre os pontos xi e xi+1, a aproximação yi+1, i=0, 1, …, n-1, começa cedo a divergir da solução exacta.
A convergência pode ser melhorada através da diminuição do espaçamento entre os pontos. Se o espaçamento for diminuído para metade, o erro de truncatura diminui para um quarto.